５分でわかる！「回帰係数」の求め方（回帰直線の傾き）

統計学の回帰分析を使うと、身長と体重のような２つのデータから、回帰直線「体重 = 身長 × 回帰係数 ＋ 切片」（上のグラフの赤線のことです）を求め、身長から体重を予測することができます。例えば、気温からビールの売れ行きを予測したり、天気から来客数を予測したりと、仕事にも活用できそうですね。そこで今回は、回帰分析の一番のキモ「回帰係数」（「回帰直線の傾き」ともいいます）の求め方をわかりやすくまとめてみました。

例題

下の表は、あるメーカーの、商品A と 商品B の販売個数です。商品Aの販売個数によって、商品Bの売れ行きを予測したいと思います。予測のための回帰係数を求めてみましょう。

◎ 商品Aと商品Bの販売個数

回帰係数を求める式

回帰係数は、以下の計算式で求められます。

回帰係数を求めるには、はじめに「相関係数」を求める必要があります。相関係数の求め方は「５分で分かる！相関係数の求め方」をご参照ください。（例題も同じです）相関係数を求める過程で、商品Aと商品Bの標準偏差も求めることができます。

回帰係数の計算

相関係数の計算おつかれさまでした！
求めた相関係数と、商品Aと商品Bの標準偏差は以下の値になっていると思います。

あとは、回帰係数を求める式　相関係数 ×（ 商品Bの標準偏差 ÷ 商品Aの標準偏差 ）　に当てはめて、計算するだけです。

切片の計算

せっかくなので、切片も計算してみましょう。切片は、以下の計算式で求められます。

回帰係数は先ほど求めた「1.06」、商品Aの平均は「40.8」、商品Bの平均は「59.6」になりますので、これを式に当てはめて計算します。

商品Bの売れ行きの予測

回帰係数と切片が求められましたので、回帰直線は「商品B = 商品A × 1.06 + 16.3」となります。

例えば、商品Aを100個注文した取引先には、商品Bが「100 × 1.06 + 16.3 = 122」個くらい売れると予測することができます。

「R」３行で出来る！回帰係数の求め方

手計算で回帰係数を求めるのはかなり大変ですが、統計解析ソフトの「R」を使えば、わずか３行のコマンドを入力するだけで、回帰係数を求められます。

lm関数の「~」の左側に予測したい変数(商品B)、右側に予測に使われる変数(商品A)を設定して実行します。商品Aの下に表示されている値が回帰係数、(Intercept) の下の値が切片です。

> 商品A = c(12, 38, 28, 50, 76)
> 商品B = c(28, 35, 55, 87, 93)
> lm( 商品B ~ 商品A )

Call:
lm(formula = 商品B ~ 商品A)

Coefficients:
(Intercept)        商品A  
     16.329        1.061  
 

 
また、summary関数を合わせて使うことで、より詳しい結果を表示できます。

> summary(lm(商品B~商品A))

Call:
lm(formula = 商品B ~ 商品A)

Residuals:
      1       2       3       4       5 
 -1.056 -21.630   8.975  17.643  -3.932 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)  16.3290    16.3574   0.998    0.392  
商品A         1.0606     0.3545   2.992    0.058 .
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 17.09 on 3 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.749,	Adjusted R-squared:  0.6653 
F-statistic: 8.952 on 1 and 3 DF,  p-value: 0.05803

 
簡単に回帰直線を描くこともできます。

> plot(商品A,商品B)
> abline(lm(商品B~商品A))

終わりに

冒頭にも書きましたが、回帰分析は統計学を使った分析の中でも、特に仕事に活用しやすい分析手法だと思います。実際に回帰分析を行う手順は「Rによるやさしい統計学」がとても参考になりました。この書籍はRの使い方を覚えながら、統計学を基礎から学べる内容になっていますので、統計学をこれから学びたい方にもオススメです。

Rによるやさしい統計学

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